张草 | 不用数字的数学

事实上爱因斯坦提出相对论时，乃在脑海中进行“思想实验”来建立模型，但论文必须使用数学语言才能让他人理解，只好费心思把它转写成数学方程式。

高中数学老师每堂课都在黑板上奋笔疾书让我们抄笔记，当年的笔记本还留到现在。但是，同学往往要不是高分就是不及格，令我不禁纳闷，难道对数学的理解是没有中间地带的吗？

有的人对不擅长的科目心存厌恶，毕业后根本不想再碰，而我则婉惜高中时代没搞懂，日后都设法去理解。方程式在数学家眼中是代表宇宙秩序的艺术，我也想学习去欣赏它的美。

数学老师说过一句令我难忘的话：“数学学到最高时，是没有数字的。”所以当这本新书出版时，我马上眼前一亮。

不用数字的数学是“抽象数学”，所以书中有大量插图来帮助理解。事实上爱因斯坦提出相对论时，乃在脑海中进行“思想实验”来建立模型，但论文必须使用数学语言才能让他人理解，只好费心思把它转写成数学方程式。

第一章是〈拓扑学〉（topology），拓扑学探讨形状变化，比如将两种颜色的黏土混在一起时，能看到两种颜色是如何混合的。作者开宗明义就问：“世界上有几种形状？”在拓扑学中，正方形和圆形是相同的形状，因为只要经过拉伸或挤压，它们就可以变成对方了。

以前读胚胎学，读到最早期的胚胎会不断从里面翻出来，也属于拓扑学，这个反复翻转的动作遂形成人体内的空腔。

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第二章〈分析〉中，作者问：“什么比无穷更大？”答案是连续体（continuum），也就是一条线上所有的点的数量，这些点必须非常紧密，然而将它放大时，原来点和点之间的空间也充满了点。

第三章说“抽象代数”，比如把剪刀、石头、布视为三个代数，利用抽象代数可以研究“赛局树”，例如分析下棋从第一步到结局之间的所有棋路（目前已用电脑破解了西洋跳棋和四连棋）。

作者提到古往今来最常被学生问：“真实生活中何时可以用到这些数学？”其实数学家并不太在乎实际用途，那些属于“应用数学”的领域，而数学家更喜欢“纯数学”，那可是好玩的思考游戏呢。

事实上还是可以应用的，最后一章〈建模〉举例，音乐中某些和弦听起来令人悲伤或放松，某些和弦通常跟在哪些和弦之后，这些都是数学模型。还有经济学、生物的生长、人口分布、交通堵塞都具有数学模式。

我的高中数学老师毕业于台大数学系，有时会在上课时提及大学时光，有感而发：“学数学的人都是疯子。”嘿，后来张国荣也在《霸王别姬》说过这种话呢。