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【为何要学数学？／02】本地数学难不难？

比起外国，本地学生的数学水平如何？ “我只能说中规中矩，不会太难，也不会太容易。”薛凯心说，如果跟新加坡相比，我国数学当然不算太难，但如果跟非洲国家相比则是另外一回事，因为根据她过去在其他高等学府执教的经验，原来数学在一些非洲国家并不是必修科，所以当这些国家的学生前来我国深造，往往必须从加减乘除开始复习。关于我国学生的数学水平，吴荣庆认为课程内容是合理的，但水平不知怎的就是比较弱，尤其在论证和解释这方面需要加强。比如说，“他们会告诉你这答案是怎样算出来的，但他们不会去interpret（解释）它。例如概率算出来是0.8，这0.8代表什么意思？你应该知道在你的应用场景里，这0.8代表了什么？是好还是不好？这方面他们比较弱。” 他和薛凯心皆有同感，现在的大学生似乎都急着想要得到答案，却又不太愿意绞尽脑汁去探索。薛凯心记得自己以前还是学生时，可以花上两三天的时间去解答一道数学题，可现在的学生会不耐烦跟她说：“老师，我想了很久”，而所谓的很久其实不过是半小时。现今的学习资源非常丰富，她敢说现在的学生很幸福，“如果他们多努力，其实他们是很容易成功的。” 如何照顾学习差异？根据多年的教学经验，薛凯心和同事发现一种现象，即学生的数学能力非常悬殊。“好的很好；差的很差。”她说，其他学科不见得会有这么悬殊的情形，可是数学这一科明显有这样的趋势。如果学生强弱之间的差距非常大，她认为老师不能一味只照顾数学差的学生，因为这样做恐怕会使到数学好的学生觉得数学太简单没有难度，而逐渐失去对数学的兴趣。折中做法是把难度设定在中等水平，另外准备一些高难度题目给数学能力强的学生去挑战。至于数学差的学生，她会在考试前几周特别开班邀请这些学生参加，希望帮他们打稳基础。她说：“我们不会强求他们，但大部分学生都愿意加入，因为他们也想帮助自己。” 数学启蒙每个人对数学的启蒙不一样，有些人的启蒙比较晚，但一样可以在数学这条路上走得长远。像廖浩辉，他中学时期的数学曾经不及格，发奋图强后认识了微积分，从此爱上数学，是清华大学数学博士。至于吴荣庆，他本科是学物理的，申请研究所时也是选择物理，结果大学安排他在数学系做物理模型，“就这样被骗去了数学。” 薛凯心则是从小就很喜欢数学，因为她觉得数学很简单，所谓简单是不需要像生物科那样去背诵，只需要靠逻辑去推理。而且数学对就对，错就错，没有灰色地带，“这也是我很喜欢数学的原因。” 叫数学太沉重说到这里，如果你还是很排斥数学，认为是教育制度刻意“为难”学生，那么也许吴荣庆的一番话能够让你稍微释怀。他笑说：“我以前语文科也很差，每次考试都很担心不及格，马来文不及格的话还可能得不到SPM证书，为什么大家就只针对数学呢？” 关于数学到底是不是在为难学生，廖浩辉也有话想说。他认为，政府编出这样的数学课程当然是有目的，目的是要选拔对数学有兴趣和有天分的学生，培养他们进入那些需要精通数学的领域，绝对不是没来由地刁难学生。 “数学是需要开窍的，”薛凯心说，帮助学生开窍的启蒙老师未必是学校的老师，可以是家长也可以是同侪。如果学生从一开始就很排斥数学，不管数学多有趣，只怕都已经无法入眼。数学应该怎样教才有趣？数学对很多学生来说既枯燥又乏味，原因之一是他们看不见数学跟生活有什么样的连结，才会对数学无感。薛凯心说，事实上这些年以来，政府对中小学的数学课程做出不少调整，加入了更多应用数学，例如中学标准课程（KSSM）新增的单元包括：中三——储蓄与投资、债务管理中四——财务规划与管理中五——保险、税务从课程大纲可以看见，现在的中小学数学课程不只是抛出一堆的数学公式，还更注重应用数学，比方说教学生如何理财和告诉他们保险的概念。当课程内容贴近学生的生活，学生才会晓得原来数学这么好用。另一方面，要让学生觉得数学更有趣，老师可以尝试从教学法这方面着手。悬念导入薛凯心以前在大学读教育系，老师常说要用“悬念导入”，意思是开始教一个新单元之前，先用讲故事的方式让学生有个初步概念。以三角函数为例，老师可以告诉学生古人如何根据太阳位置用三角函数测定和计算时间，以及我们可以怎样运用三角函数测量山的高度。“当学生知道原来是用这个数学概念，他们就会比较感兴趣。” 多媒体教材老师不用担心不擅长讲故事，因为现在网上有很多生动有趣的视频，通过动画以深入浅出的方式讲解数学原理，不妨把这些视频当作辅助教材。融入有趣的互动工具最近两年大学生几乎都在上网课，虽然网课有些局限，例如老师看不见学生的表情和反应，但有些工具只要善加利用，其实也能激发学生的学习动力。薛凯心分享几个她喜欢使用的工具： ·Telegram：因为可匿名留言和聊天，有些学生反而更踊跃发言，不必担心别人的眼光。 ·Padlet：欢迎学生像写便利贴那样，匿名把问题贴在Padlet版上，其他同学如果愿意就帮忙解答。数学往往不是只有一种解题方法，学生或可参考同学的解题方法，从中得到启发或灵感。 ·Mentimeter：里头有很多功能，例如可利用“文字云”这个功能，即时调查学生的意见或得到反馈，这在破冰和脑力激荡时特别好用，老师可借此了解学生对数学的想法，再根据情况调整教学方法。 ·心智图（Mind map）：学生学习时也许只看到事物的一部分，未能把每个小部分串连起来拼凑出一个全貌。透过描绘心智图，可帮助他们厘清思路，从宏观视野去复习刚刚学过的东西。另外，有些人觉得数学乏味，是因为觉得重复做练习很无聊，不明白一直加减乘除有什么意义。但吴荣庆认为重复练习还是有必要，因为那算是基本功，学生不能只懂应用数学却没有扎实基础去支撑。廖浩辉也认同学生有必要重复做练习，因为那跟学习词汇和句型一样，只有学习多了才熟能生巧和懂得融会贯通。延伸阅读：【为何要学数学？／01】有助清晰逻辑及分析力，搞好数学终身受益更多文章：梁玮刚挥拍爸爸当教练妹妹是陪练——我们仨的网球梦【植物学家01】杨荐钛：珍视被忽视的苔藓【植物学家02】每次野外考察，植物都来迎宾杨敏仪炙热的创业魂跨学科学习正夯

3年前

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【为何要学数学？／01】有助清晰逻辑及分析力，搞好数学终身受益

还记得“π”这个符号吗？只要上过中学数学课的人都学过这个符号，但许多人毕业后已忘记这个符号的意义和用途，甚至有些人可能会说：“我都不知道学这些有什么意义，日常生活用得着吗？” 趁着3月14日是圆周率日，不如来思考为什么我们要学数学，以及数学应该怎样教才比较有趣。数学确实是许多人的梦魇，可是我们不能因为害怕或讨厌而不去学，因为日常生活无处不是数学，只是我们可能并未察觉。例如拿冠病疫情做例子好了，拉曼大学数学与精算系副教授吴荣庆博士指出，卫生总监诺希山经常说我们要压平曲线，如果普罗大众没有数学概念的话，可能连曲线是什么都不懂。“再来就是如果你想要投资，眼前有两个项目，这两个项目都呈上涨趋势，但你手上只有一笔钱，你要如何决定投资哪个项目？”这些在我们日常生活可能会遇到的场景，“其实都是数学！” 如果从更宏大的角度来说，数学其实是世界通用的“语言”，我们也许不懂法语、不懂俄语，但我们都认得阿拉伯数字和一些基本的数学符号。不仅如此，数学还是科学的语言，意大利物理学家和天文学家伽利略（1564-1642年）就曾经形容，宇宙是以数学这个语言来书写的，“搞不好以后如果遇到外星人，我们可以用数学来跟他沟通，”拉曼大学基础课程中心高级讲师薛凯心打趣。那些我们学过的数学公式，尽管大部分在日常生活中很少使用，但学习数学可以培养我们的逻辑思维和分析能力，这些能力内化后将使我们终身受用。薛凯心举例：“数学教我们怎样把一个复杂的东西简单化，你会发现数学好的人，他们做事情能多简单就多简单，比较有条理地去解决问题，我觉得数学在这一层面无形中让我们思维有更好的提升。” 数学真的与你无关？许多人中学毕业后，恨不得马上把所有数学公式抛诸脑后，以为从此可以跟数学分道扬镳不再有任何瓜葛，可是事情真有这么简单吗？在大学，很多人以为只有像工程系和基础学科的学生才需要运用数学，但其实许多其他科系包括文商科都无法跟数学撇清关系，吴荣庆举出一些例子： ·社会科学当你做人口统计或任何涉及问卷调查的研究，需要有统计学的基础来帮你分析数据。如果没有统计学的知识，你无法从数据提炼出精辟见解，甚至可能因为错误分析而把你导向似是而非的结论。 ·商学你以为做生意只需要懂加减乘除吗？当要预测公司明年的收入，你就需要建立数学模型，从模型去推估明年的公司财政。另外，如果公司赚钱了，你要把多少利润用于回馈员工？又要把多少利润用于扩充公司？这种资源配置的背后都是数学，用数学来帮助公司做决策。 ·人工智能人工智能不只是电脑科学系的事，现今许多学科也正在开发人工智能，例如自然语言处理（Natural Language Processing），乃语言学和人工智能的综合领域，让电脑拥有理解语言的能力。无论人工智能或机器学习都大量运用数学模型，连语言学都有可能跟数学扯上关系，其他像生物资讯学、遗传学就更不用说了。 ·物流在拉曼大学，物流及国际船运专业跟精算学、金融数学等专业是姐妹系，由此可见物流跟数学有着密切关系。可能你会问：“物流和船运不就是计算一个货柜可以装多少货物，还有从地点A到地点B的距离有多远，有那么复杂吗？”事实上，拉曼大学数学与精算系助理教授廖浩辉博士指出，物流讲究路线的规划，而由于不同路线的繁忙程度都不一样，如果要规划出最佳路线，这就跟数学的图论（Graph Theory）、排队论（Queuing Theory）和概率（Probability）有关系。数学如何应用于各学科？换个角度，从数学分支来看，数学如何应用在各种学科？薛凯心举例如下：代数（Algebra） ·电脑科学 ·密码学微分方程（Differential Equations） ·化学反应过程的稳定性研究 ·飞机和导弹飞行的稳定性研究运筹学（Operations Research） ·研究最佳的资源分配，例如假设建造公寓，要怎样运用最少的人力和最短的时间建造出最优质的公寓。金融数学（Financial Mathematics） ·将数学和统计学应用于金融市场研究，比如预测股票和期货市场的走势。统计学（Statistics） ·统计学应用范围非常广泛，比如商家推出一个新产品之前，必须先做市场调查，从数据去推断消费者会不会购买这个产品。现今非常流行网购，网站仿佛有先见之明不断会推送广告，这背后其实是数据科学在根据消费者的习惯和喜好演算出的结果。微积分和概率（Calculus and Probability） ·研究风险和管理风险的方法，比如银行是否批准贷款，必须考量借贷人有没有能力偿还贷款；保险公司也会根据每个人的个人风险来决定保费多少，基本上风险越高，保费就会越高。薛凯心说，数学有很多分支，大致可分为基础数学、纯数学和应用数学。由于范围非常广泛，因此即使是数学博士通常也只专精于一个领域，无法样样精通。在大学，学生需要学哪方面的数学以及学得多深入，主要看本身就读的是什么科系。以她在拉曼大学教导的大学基础课程（Foundation Programmes）为例，社会科学的学生一样必须上数学课，但他们主要学的是统计学，而且难度不会太高。相对的，会计学生的数学会比较难一些，包括会学微积分，这是因为会计专业有这需要所以课程才会这样设计。总之，大学会根据个别科系的需求来决定数学课程的内容及深度。 π是什么？ π，圆周率（Pi），是圆的周长与其直径的比率，以π这个希腊字母指代。目前已知最早使用这个符号代表圆周率的人是威尔士数学家威廉·琼斯（William Jones，1675-1749年），但直到瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）在其著作开始使用之后，π这个符号才越来越普遍被使用来指代圆周率。第一个圆周率日（Pi Day）于1988年3月14日在美国探索博物馆庆祝，为什么是3月14日？因为这是从圆周率的近似值3.14而来。2009年，美国众议院正式通过将每年3月14日定为圆周率日，联合国教科文组织也在2019年宣布将每年3月14日定为国际数学日。 2021年，瑞士格劳宾登应用科技大学的研究人员使用超级电脑，耗时108天又9个小时，将圆周率的小数点后的数字计算到第62.8兆进位，缔造新的世界纪录。至于人类背诵的纪录，目前健力士世界大全认证的世界纪录是由印度的维尔·米纳（Rajveer Meena）于2015年创下，他于9小时27分钟内背诵了圆周率小数点后面的7万位。延伸阅读：【为何要学数学？／02】本地数学难不难？更多文章：梁玮刚挥拍爸爸当教练妹妹是陪练——我们仨的网球梦【植物学家01】杨荐钛：珍视被忽视的苔藓【植物学家02】每次野外考察，植物都来迎宾杨敏仪炙热的创业魂跨学科学习正夯

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